Топологія на спектрі алгебри цілих симетричних функцій обмеженого типу на комплексному просторі $L_∞$ - Василишин, Т.В. (Карпатські математичні публікації, 2017)
<!-- p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120%; } --> Відомо, що так звані елементарні симетричні поліноми $R_n(x) = \int_{[0,1]}(x(t))^n\,dt$ утворюють алгебраїчний базис алгебри усіх симетричних неперервних поліномів на комплексному банаховому просторі $L_∞,$ яка є скрізь щільною в алгебрі Фреше $H_{bs}(L_∞)$ усіх цілих симетричних функцій обмеженого типу на $L_∞.$ Як наслідок, кожен неперервний го\-мо\-мор\-фізм $φ: H_{bs}(L_∞) → \mathbb{C}$ однозначно визначається послідовністю $\{φ(R_n)\}_{n=1}^∞.$ За неперервністю гомоморфізму $φ,$ послідовність $\{\sqrt[n]{|φ(R_n)|}\}_{n=1}^∞$ є обмеженою. З іншого боку, для кожної послідовності $\{ξ_n\}_{n=1}^∞ \subset \mathbb{C},$ такої, що послідовність $\{\sqrt[n]{|ξ_n|}\}_{n=1}^∞$ є обмеженою, існує $x_ξ \in L_∞$ така, що $R_n(x_ξ) = ξ_n$ для кожного $n \in \mathbb{N}.$ Тому для функціонала обчислення значення в точці $δ_{x_ξ}$ буде $δ_{x_ξ}(R_n) = ξ_n$ для кожного $n \in \mathbb{N}.$ Отже, кожен неперервний комплекснозначний гомоморфізм алгебри $H_{bs}(L_∞)$ збігається із функціоналом обчислення значення в деякій точці простору $L_∞.$ Зауважимо, що така точка не є єдиною. Розглянемо відношення еквівалентності на $L_∞,$ визначене правилом $x\sim y \Leftrightarrow δ_x = δ_y.$ Тоді спектр (множина усіх неперервних комплекснозначних гомоморфізмів) $M_{bs}$ алгебри $H_{bs}(L_∞)$ є у взаємно однозначній відповідності із фактор-множиною $L_∞/_\sim.$ Відповідно, на $M_{bs}$ можна розглянути фактор-топологію. З іншого боку, природно ототожнити $M_{bs}$ із множиною усіх послідовностей $\{ξ_n\}_{n=1}^∞ \subset \mathbb{C}$ таких, що послідовність $\{\sqrt[n]{|ξ_n|}\}_{n=1}^∞$ є обмеженою. У роботі показано, що фактор-топологія є гаусдорфовою і що $M_{bs}$ з операцією покоординатного додавання послідовностей утворює абелеву топологічну групу.