Властивості розв'язків одного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку

Анотація

Нехай степеневий ряд $A(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^{n}$ має радіус збіжності $R[A]\in [1,+\infty]$. Для неоднорідного диференціального рівняння $$z^2 w''+(\beta_0 z^2+\beta_1 z) w'+(\gamma_0 z^2+\gamma_1 z+\gamma_2)w=A(z)$$ з комплексними коефіцієнтами вивчаються геометричні властивості в одиничному крузі його розв'язків (опуклість, зірковість, близькість до опуклості). Розглядається два випадки: $\gamma_2\neq0$ і $\gamma_2=0$. Також ми розглядаємо випадки дійсних параметрів цього рівняння. Доведено, що для розв'язку $f$ цього рівняння радіус збіжності $R[f]$ дорівнює $R[A]$ і знайдено рекурентні формули для знаходження коефіцієнтів степеневого розвинення $f(z)$. Для цілого розв'язку доведено, що порядок розв'язку $f$ не менший ніж порядок функції $A$ ($\varrho[f]\ge\varrho[A]$) і оцінка є точною. Аналогічна нерівність доведена для узагальнених порядків ($\varrho_{\alpha\beta}[f]\ge \varrho_{\alpha\beta}[A]$). Для цілого розв'язку цього рівняння вивчено належність до класу збіжності. Наприкінці розглядається лінійне диференціальне рівняння нескінченного порядку $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{a_n}{n!}w^{(n)}=\Phi(z),$ і вивчається можливе зростання його розв'язків.