Деякі властивості узгальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля

Анотація

У цій статті ми представляємо нове сімейство многочленів типу Аппеля $\{A_n^{(k)}(m,x)\},$ $n, m \in {\mathbb{N}}_0,$ $k \in {\mathbb{N}},$ кожен представник якого визначений над полем дійсних чисел і може бути представлений через узагальнену гіпергеометричну функцію $${}_{p} F_q \begin{bmatrix} \begin{matrix} {a_1}, {a_2}, {\ldots}, {a_p} \:\\ {b_1}, {b_2}, {\ldots}, {b_q} \end{matrix} \: \Bigg |\:z \end{bmatrix}= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{a_1^{(k)} a_2^{(k)} \ldots a_p^{(k)}}{b_1^{(k)} b_2^{(k)} \ldots b_q^{(k)}} \frac{z^k}{k!},$$ де через $x^{(n)}$ позначено символ Похгаммера (зростаючий факторіал), який визначається за формулою $x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)$ для $n\geq 1$ і $x^{(0)}=1$, у такий спосіб $$A_n^{(k)}(m,x)= x^n{}_{k+p} F_q \begin{bmatrix} \begin{matrix} {a_1}, {a_2}, {\ldots}, {a_p}, {\displaystyle -\frac{n}{k}}, {\displaystyle -\frac{n-1}{k}}, {\ldots}, {\displaystyle-\frac{n-k+1}{k}}\:\\ {b_1}, {b_2}, {\ldots}, {b_q} \end{matrix} \: \Bigg | \: \displaystyle \frac{m}{x^k} \end{bmatrix},$$ і одночасно многочлени цього сімейства є многочленами типу Аппеля. Для многочленів цього сімейства вперше знайдено породжуючу функцію і доведено, що вони є многочленами типу Аппеля. Знайдено розклад представників цього сімейства за стандартним базисом в замкнутій формі та у формі ряду диференціального оператора, а також нову тотожність для узагальненої гіпергеометричної функції. Крім цього, для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля встановлено формули додавання і множення аргумента та деякі інші.