Деякі результати стосовно властивості локалізації узагальнених просторів Герца, просторів Бєсова типу Герца і просторів Трібеля-Лізоркіна типу Герца

Анотація

У цій статті, використовуючи узагальнені функційні простори типу Герца $\dot{K}_{q}^{p}(\theta)$, що були введені Й. Коморі та К. Мацуока у 2009 році, ми визначаємо простори Бєсова типу Герца $\dot{K}_{q}^{p}B_{\beta }^{s}(\theta)$ і простори Трібеля-Лізоркіна типу Герца $\dot{K}_{q}^{p}F_{\beta }^{s}(\theta)$, які узагальнюють простори Бєсова і простори Трібеля-Лізоркіна в однорідному випадку, де $\theta=\left\{\theta(k)\right\} _{k\in\mathbb{Z}}$ $-$ така послідовність невід'ємних чисел, що $$\begin{equation*} C^{-1}2^{\delta (k-j)}\leq \frac{\theta(k)}{\theta(j)} \leq C2^{\alpha (k-j)},\quad k>j, \end{equation*}$$ для деякого $C\geq 1$ ($\alpha$ і $\delta$ $-$ дійсні числа). При зазначених вище умовах на $\theta$ ми доводимо, що $\dot{K}_{q}^{p}\left({\theta }\right)$ і $\dot{K}_{q}^{p}B_{\beta }^{s}\left({\theta }\right)$ є локалізовні у $\ell _{q}$-нормі при $p=q$, $\dot{K}_{q}^{p}F_{\beta }^{s}\left({\theta }\right)$ є локалізовні у $\ell _{q}$-нормі, тобто існує $\varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^{n})$, що задовольняє $\sum_{k\in \mathbb{Z}^{n}}\varphi \left( x-k\right) =1$ для довільного $x\in \mathbb{R}^{n}$ так, що $$\begin{equation*} \left\Vert f|E\right\Vert \approx \Big(\underset{k\in \mathbb{Z}^{n}}{\sum }\left\Vert \varphi (\cdot-k)\cdot f|E\right\Vert ^{q}\Big)^{1/q}. \end{equation*}$$ Вказані результати покращують та узагальнюють відповідні відомі результати для деяких функційних просторів.