Нелокальна задача для диференціально-операторного рівняння парного порядку з енволюцією

Анотація

У роботі досліджується задача з крайовими несамоспряженими умовами диференціально-операторних рівнянь порядку $2n$ з інволюцією. Досліджено спектральні властивості оператора задачі.

Аналогічно методу відокремлення змінних, крайова задача для диференціально-операторного рівняння парного порядку, зведена до послідовності операторів $\{L_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь парного порядку. Встановлено, що кожен елемент $L_{k}$ цієї послідовності є ізоспектральним збуренням оператора $L_{0,k}$ самоспряженої крайової задачі для деякого лінійного звичайного диференціального рівняння порядку 2n.

Побудовано комутативну групу операторів перетворення, елементи якої відображають систему $V(L_{0,k})$ власних функцій оператора $L_{0,k}$ у систему $V(L_{k})$ власних функцій операторів $L_{k}$. Власні функції оператора крайової задачі для диференціально-операторного рівняння з інволюцією отримано, як результат дії деякого спеціально побудованого оператора на власні функції послідовності операторів $\{L_{k}\}_{k=1}^{\infty}$.

Встановлено достатні умови при яких, система власних функцій оператора задачі є базисом Рісса.