Про зростання композицій цілих функцій

Анотація

Нехай $\gamma$ $-$ додатна, неперервна і зростаюча до $+\infty$ на $[0,\,+\infty)$ функція, а $f$ і $g$ $-$ довільні цілі функції додатного нижнього порядку і скінченногo порядку.

Для того, щоб $\lim\limits_{r\to+\infty} \frac{\ln\ln\,M_{f(g)}(r)}{\ln\ln\,M_f(\exp\{\gamma(r)\})}=+\infty, \quad M_f(r)=\max\{|f(z)|:\,|z|=r\},$ необхідно і досить, щоб $(\ln\,\gamma(r))/(\ln\,r)\to 0$ при $r\to+\infty$. Це твердження є відповіддю на питання, поставлене А. Сінхом і М. Балоріа у 1991 р.

Також для того, щоб $\lim\limits_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln\,M_F(r)} {\ln\ln\,M_f(\exp\{\gamma(r)\})}=0,\quad F(z)=f(g(z)),$ необхідно і достатньо, щоб $(\ln\,\gamma(r))/(\ln\,r)\to \infty$ при $r\to+\infty$.