Відновлення неперервних функцій двох змінних за їхніми коефіцієнтами Фур'є, що задані з похибкою

Анотація

У даній роботі ми продовжуємо вивчати класичну задачу оптимального відновлення на класах неперервних функцій. А саме, розглянуто класи $W^{\psi}_{2,p}$, $1 \leq p < \infty$, функцій, що задаються у термінах узагальненої гладкості $\psi$. Досліджено двовимірний випадок, який доповнює недавні результати роботи [Res. Math. 2020, 28 (2), 24-34] для класів $W^{\psi}_p$ функцій однієї змінної.

Вважаємо, що для функцій відомі їхні коефіцієнти Фур'є $y^{\delta}_{i,j} = y_{i,j} + \delta \xi_{i,j}$, $\delta \in (0,1)$, $i,j = 1,2, \dots$, відносно деякої ортонормованої системи $\{ \varphi_{i,j} \}_{i,j=1}^{\infty}$, які збурені шумом. При цьому, рівень шуму вважаємо малим в сенсі норми простору $l_p$, $1 \leq p < \infty$, подвійних послідовностей $\xi=( \xi_{i,j} )_{i,j=1}^{\infty}$ дійсних чисел.

У якості методу відновлення, взято так званий $\Lambda$-метод підсумовування, що задається деякою двовимірною числовою матрицею $\Lambda = \{ \lambda_{i,j}^n \}_{i,j=1}^n$, де $n$ $-$ натуральне число, яке певним чином пов'язане із послідовністю $\psi$, що визначає гладкість досліджуваних функцій. Похибку наближення оцінено в нормі простору $C ([0,1]^2)$ неперервних на $[0,1]^2$ функцій.

Показано, що при $1\leq p < \infty$, за відповідних умов на гладкісний параметр $\psi$ та елементи матриці $\Lambda$, справедлива оцінка $$\Delta( W^{\psi}_{2,p}, \Lambda, l_p)= \sup\limits_{ y \in W^{\psi}_{2,p} } \sup\limits_{\| \xi \|_{l_p} \leq 1} \Big\| y - \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \lambda_{i,j}^n ( y_{i,j} + \delta \xi_{i,j}) \varphi_{i,j} \Big\|_{C ([0,1]^2)} \ll \frac{ n^{\beta + 1 - 1/{p}}}{\psi(n)}.$$