Топологія на спектрі алгебри цілих симетричних функцій обмеженого типу на комплексному просторі $L_\infty$

Анотація

Відомо, що так звані елементарні симетричні поліноми $R_n(x) = \int_{[0,1]}(x(t))^n\,dt$ утворюють алгебраїчний базис алгебри усіх симетричних неперервних поліномів на комплексному банаховому просторі $L_\infty,$ яка є скрізь щільною в алгебрі Фреше $H_{bs}(L_\infty)$ усіх цілих симетричних функцій обмеженого типу на $L_\infty.$ Як наслідок, кожен неперервний го\-мо\-мор\-фізм $\varphi: H_{bs}(L_\infty) \to \mathbb{C}$ однозначно визначається послідовністю $\{\varphi(R_n)\}_{n=1}^\infty.$ За неперервністю гомоморфізму $\varphi,$ послідовність $\{\sqrt[n]{|\varphi(R_n)|}\}_{n=1}^\infty$ є обмеженою. З іншого боку, для кожної послідовності $\{\xi_n\}_{n=1}^\infty \subset \mathbb{C},$ такої, що послідовність $\{\sqrt[n]{|\xi_n|}\}_{n=1}^\infty$ є обмеженою, існує $x_\xi \in L_\infty$ така, що $R_n(x_\xi) = \xi_n$ для кожного $n \in \mathbb{N}.$ Тому для функціонала обчислення значення в точці $\delta_{x_\xi}$ буде $\delta_{x_\xi}(R_n) = \xi_n$ для кожного $n \in \mathbb{N}.$ Отже, кожен неперервний комплекснозначний гомоморфізм алгебри $H_{bs}(L_\infty)$ збігається із функціоналом обчислення значення в деякій точці простору $L_\infty.$ Зауважимо, що така точка не є єдиною. Розглянемо відношення еквівалентності на $L_\infty,$ визначене правилом $x\sim y \Leftrightarrow \delta_x = \delta_y.$ Тоді спектр (множина усіх неперервних комплекснозначних гомоморфізмів) $M_{bs}$ алгебри $H_{bs}(L_\infty)$ є у взаємно однозначній відповідності із фактор-множиною $L_\infty/_\sim.$ Відповідно, на $M_{bs}$ можна розглянути фактор-топологію. З іншого боку, природно ототожнити $M_{bs}$ із множиною усіх послідовностей $\{\xi_n\}_{n=1}^\infty \subset \mathbb{C}$ таких, що послідовність $\{\sqrt[n]{|\xi_n|}\}_{n=1}^\infty$ є обмеженою.

У роботі показано, що фактор-топологія є гаусдорфовою і що $M_{bs}$ з операцією покоординатного додавання послідовностей утворює абелеву топологічну групу.