Ряди Пуанкаре алгебр спільних інваріантів та коваріантів $n$ квадратичних форм

Анотація

Ми розглядаємо одну з фундаментальних проблем класичної теорії інваріантів - дослідження ряду Пуанкаре алгебр інваріантів групи Лі $SL_2.$ Відомо, що перші доданки розкладу ряду Пуанкаре в ряд Лорана в околі точки $z=1$ несуть важливу інформацію про структуру цієї алгебри. Для алгебри ${\mathcal{I}_{d}=\mathbb{C}[V_d]^{\,SL_2}}$ інваріантів однієї бінарної форми вони були обчисленні ще Гільбертом (тут $V_d$ -комплексний $d+1-$ вимірний векторний простір бінарних форм степеня $d$). Пізніше цей же результат отримав Спрінгер, використовуючи явну формулу для ряду Пуанкаре алгебри $\mathcal{I}_{d}.$ Розглядається аналогічна задача для алгебр спільних інваріантів ${\mathcal{I}_{2n}=\mathbb{C}[\underbrace{V_2 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_2}_{\text{n times}} ]^{\,SL_2}}$ та спільних коваріантів ${\mathcal{C}_{2n}=\mathbb{C}[\underbrace{V_2 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_2}_{\text{n times}} \oplus \mathbb{C}^2 ]^{\,SL_2}} $ $ n$ квадратичних форм. Ми виразили ряди Пуанкаре $\mathcal{P}(\mathcal{C}_{2n},z)=\sum_{j=0}^{\infty }\dim(\mathcal{C}_{2n})_{j}\, z^j$ та $\mathcal{P}(\mathcal{I}_{2n},z)=\sum_{j=0}^{\infty }\dim(\mathcal{I}_{2n})_{j}\, z^j$ цих алгебр через поліноми Нараяна. Також ми обчислили степені цих алгебр та асиптотичну поведінку цих степенів, використовуючи ці ряди Пуанкаре.