Деякі аналітичні властивості функції Вейля замкненого відношення

Анотація

Нехай $L$ та $L_{0}$, де $L_{0} \subset L,$ $-$ замкнені лінійні відношення (багатозначні оператори) у комплексному гільбертовому просторі $H$. У термінах абстрактних крайових операторів (тобто у вигляді, який у випадку диференціальних операторів приводить безпосередньо до граничних умов) досліджуються деякі аналітичні властивості функції Вейля $M(\lambda),$ яка відповідає парі $(L, L_{0})$ та певній її крайовій парі.

Зокрема, застосовуючи резольвентну тотожність Гільберта для відношень, встановлено критерій оборотності у алгебрі обмежених лінійних операторів, діючих у $H,$ для відображення  $M(\lambda) - M(\lambda_{0} )$ у деякому достатньо малому проколеному околі точки $\lambda _{0}.$ Доведено, що в цьому випадку $\lambda _{0}$ є полюсом першого порядку для оператор-функції $\left(M(\lambda) - M(\lambda _{0})\right)^{-1}.$ Знайдено відповідні лишок та розвинення у ряд Лорана.

При деяких додаткових припущеннях досліджується поведінка при $\lambda \to -\infty$ так званого $\gamma$-поля $Z_{\lambda},$ яке являє собою оператор-функцію, тісно пов'язаною з $M(\lambda).$