Про один підхід до побудови розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна невід'ємного лінійного відношення

Анотація

Нехай $L_{0}$ $-$ замкнене лінійне невід'ємне (можливо, додатно визначене) відношення («багатозначний оператор») у комплексному гільбертовому просторі $H$. У термінах так званих просторів граничних значень (граничних трійок) і віповідних функцій Вейля та характеристичних функцій Кочубея-Штрауса побудовано розширення Фрідріхса (жорстке розширення) та Неймана-Крейна (м'яке розширення) відношення $L_{0}$.

Зазначимо, що кожне невід'ємне лінійне відношення $L_{0}$ у гільбертовому просторі $H$ має два екстремальні невід'ємні самоспряжені розширення: розширення Фрідріхса $L_{F}$ та розширення Неймана-Крейна $L_{K},$ які володіють такою властивістю: $$(\forall \varepsilon > 0) (L_{F} + \varepsilon 1)^{-1} \leq (\widetilde{L} + \varepsilon 1)^{-1} \leq (L_{K} + \varepsilon 1)^{-1}$$ на множині всіх невід'ємних самоспряжених розширень-відношень $\widetilde{L}$ відношення $L_{0}.$

Розвивається підхід, заснований на понятті граничної трійки. Цей підхід був започаткований Ф.С. Рофе-Бекетовим, М.Л. Горбачуком та В.І. Горбачук, А.Н. Кочубеєм, В.А. Михайлецем, В.О. Деркачем, М.Н. Маламудом, Ю.М. Арлінським та іншими математиками.

Показано, що побудова згаданих розширень може бути реалізованою простішим шляхом у випадку, коли відношення $L_{0}$ є додатно визначеним.