Симетричні $*$-поліноми на $\mathbb C^n$

Анотація

Поняття $*$-полінома є природним узагальненням поняття полінома між комплексними векторними просторами. $*$-Поліном $-$ це функція між комплексними векторними просторами $X$ та $Y,$ яка є сумою так званих $(p,q)$-поліномів. У свою чергу, для невід'ємних цілих чисел $p$ і $q,$ $(p,q)$-поліном $-$ це функція між просторами $X$ та $Y,$ яка є звуженням на діагональ деякого відображення, що діє з декартового степеня $X^{p+q}$ в $Y,$ яке є лінійним відносно кожного зі своїх перших $p$ аргументів, антилінійним відносно кожного зі своїх останніх $q$ аргументів і інваріантним відносно перестановок окремо перших $p$ аргументів і останніх $q$ агрументів.

У даній роботі побудовано формули для знаходження $(p,q)$-поліноміальних компонентів $*$-поліномів, які діють між комплексними векторними просторами $X$ та $Y,$ за значеннями цих $*$-поліномів. Цей результат використано для дослідження $*$-поліномів, які діють з $n$-вимірного комплексного векторного простору $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C},$ які є симетричними, тобто, інваріантними відносно перестановок координат їхнього аргумента. Показано, що кожен симетричний $*$-поліном, який діє з $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C},$ можна подати у вигляді алгебраїчної комбінації деяких "елементарних" симетричних $*$-поліномів.

Результати даної роботи можуть бути використані для дослідження алгебр, породжених симетричними $*$-поліномами, які діють з $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}.$