Зображення відношення розв'язків чотиричленного лінійного рекурентного співвідношення у вигляді гіллястого ланцюгового дробу

Анотація

Відношення двох лінійно незалежних розв'язків чотиричленного лінійного рекурентного співвідношення за аналогією з неперервними дробами представлено у вигляду гіллястого ланцюгового дробу з двома гілками розгалуження. Знайдено формули частинних чисельників та частинних знаменників цього гіллястого ланцюгового дробу. Розв'язки різницевого рівняння є канонічними чисельниками і канонічними знаменниками $\mathcal{B}$-фігурних підхідних дробів. Часто використовують два типи фігурних підхідних дробів: $\mathcal{A}$-фігурні і $\mathcal{B}$-фігурні. $n$-ий $\mathcal{A}$-фігурний підхідний дріб гіллястого ланцюгового дробу отримується додаванням наступної частинної частки до $(n-1)$-го $\mathcal{A}$-фігурного підхідного дробу. $n$-ий $\mathcal{B}$-фігурний підхідний дріб гіллястого ланцюгового дробу є гіллястий ланцюговий дріб, що є його частиною і містить всі ті елементи, сума індексів яких менша, або рівна $n$. $\mathcal{A}$-фігурні підхідні дроби використовуються при доведенні формул для канонічних чисельників і знаменників у вигляді визначників, $\mathcal{B}$-фігурні підхідні дроби $-$ у задачах відповідності між кратними степеневими рядами і гіллястими ланцюговими дробами. Загальний гіллястий ланцюговий дріб не можна звести до побудованого гіллястого ланцюгового дробу. Для обчислення канонічних чисельників і канонічних знаменників гіллястих ланцюгових дробів з $N$, $N>1$, гілками розгалуження не справджуються лінійні рекурентні співвідношення. Досліджена $\mathcal{B}$-фігурна збіжність побудованого дробу у випадку, коли коефіцієнтами рекурентного співвідношення є дійсні додатні числа.