Спектральні апроксимації сильно вироджених еліптичних диференціальних операторів

Анотація

Встановлено аналітичні оцінки помилок спектральних апроксимацій сильно вироджених еліптичних диференціальних операторів в просторі Лебега $L_q(\Omega)$ над обмеженою областю $\Omega$. Такі еліптичні оператори характеризуються сильним виродженням їх коефіцієнтів поблизу границі, їх спектр складається із ізольованих власних значень скінченної алгебраїчної кратності, а лінійна оболонка власних і приєднаних векторів щільна в просторі $L_q(\Omega)$. Отримані результати ґрунтуються на відповідному узагальненні нерівностей Бернштейна і Джексона з обчисленням точних констант для квазінормованих апроксимаційних просторів типу Бєсова, асоційованих з даним еліптичним оператором. Апроксимаційні простори визначаються за допомогою функціоналу $E\left(t,u\right)$, який характеризує найкоротшу відстань від заданої функції $u\in L_q(\Omega)$ до замкненої лінійної оболонки спектральних підпросторів заданого оператора, що відповідають власним значенням, які за абсолютною величиною не перевищують фіксоване число $t>0$. При цьому вказана лінійна оболонка спектральних підпросторів співпадає з підпростором цілих аналітичних функцій експоненціального типу, що не перевищує $t>0$. Апроксимаційний функціонал $E\left(t,u\right)$ в нашому випадку відіграє роль, подібну модулю гладкості в теорії функцій.