Зв'язок алгебраїчних рівнянь з $(n,m)$-формами, їх степенями і рекурентними дробами

Анотація

Алгебраїчні та рекурентні рівняння мають широке застосування не тільки в алгебрі, але й в інших розділах математики, чим викликають неабияке зацікавлення до різного роду об'єктів та методів дослідження пов'язаних із ними. В цій статті досліджено зв'язок $(n,m)$-форм з узагальненими рівняннями Пеля, алгебраїчними рівняннями $n$-ого степеня і рекурентними дробами. Розглянуто властивості $(n,m^n+1)$-форми і її характеристичного рівняння. Застосовано парафункції трикутних матриць до алгебраїчних рівнянь $n$-ого степеня та відповідних їм рекурентних рівнянь. Досліджено вигляд суміжних коренів анулюючого полінома довільної $(n,m)$-форми над полем раціональних чисел.

Для деяких прикладних задач велике значення має відповідь на питання: чи є дана $(n,m)$-форма найбільша за модулем серед своїх суміжних коренів? Тоді в цьому випадку існуватиме одноперіодичний рекурентний дріб $n$-ого порядку, який дорівнюватиме даній $(n,m)$-формі, а його $m$-те раціональне вкорочення буде її раціональним наближенням. Автор виділив клас $(n,m)$-форм, які є найбільшими за модулем серед своїх суміжних коренів, та показав як для них знайти одноперіодичні рекурентні дроби $n$-ого порядку й раціональні наближення.