Потенціали простого шару для одного класу псевдодиференціальних рівнянь, пов'язаних з лінійними перетвореннями симетричного $ \alpha $-стійкого випадкового процесу

Анотація

Стаття присвячена дослідженню невиродженого лінійного перетворення симетричного $\alpha$-стійкого випадкового процесу в евклідовому просторі $\mathbb{R}^d$. Результат цього перетворення є процесом Маркова в $\mathbb{R}^d$, чий твірний оператор задається символом $(-(Q\xi,\xi)^{\alpha/2})_{\xi\in\mathbb{R}^d}$ з деякою симетричною додатно визначеною $d\times d$-матрицею $Q$ та фіксованим $\alpha\in(1,2)$. Щільність ймовірності переходу цього процесу є фундаментальним розв'язком деякого параболічного псевдодиференціального рівняння. Вводиться поняття потенціалу простого шару та досліджуються його властивості. Зокрема встановлено оператор, який відіграє роль градієнта в класичній теорії. Доведено аналог класичної теореми про стрибок конормальної похідної потенціалу простого шару. Ця властивість потенціалу простого шалу може бути використана для побудови розв'язків деяких крайових задач для розглянутих параболічних псевдодиференціальних рівнянь. Якщо $\alpha=2$, розглянутий процес є лінійним перетворенням процесу броунівського руху і всі досліджені властивості потенціалу простого шару добре відомі.