Замітка про узагальнення ін'єктивних модулів

Анотація

Як належне узагальнення ін'єктивних модулів у термінах доповнень скажемо, що модуль $M$ має властивість (ME), якщо як тільки $M\subseteq N,$ то $M$ має доповнення $K$ в $N$, де $K$ має взаємне доповнення в $N$. У цьому дослідженні ми отримуємо, що $(1)$ напівпростий $R$-модуль $M$ має властивість (E) тоді і тільки тоді, коли $M$ має властивість (ME); $(2)$ напівпростий лівий $R$-модуль $M$ над комутативним нетеровим кільцем $R$ має властивість (ME) тоді і тільки тоді, коли $M$ алгебраїчно компактний та тоді і тільки тоді, коли майже всі ізотопні компоненти $M$ є нульовими; $(3)$ модуль $M$ над регулярним кільцем фон Неймана має властивість (ME) тоді і тільки тоді, коли він ін'єктивний; $(4)$ основна область ідеалу $R$ є досконалою зліва, якщо кожен вільний лівий $R$-модуль має властивість (ME)