Оцінки зростання максимального члена та центрального показника похідної ряду Діріхле

Анотація

Нехай $A\in(-\infty,+\infty]$, $\Phi:[a,A)\to\mathbb{R}$ $-$ довільна неперервна функція така, що $x\sigma-\Phi(\sigma)\to-\infty$, $\sigma\uparrow A$, для кожного $x\in\mathbb{R}$, $\widetilde{\Phi}(x)=\max\{x\sigma -\Phi(\sigma):\sigma\in [a,A)\}$ $-$ функція, спряжена з $\Phi$ за Юнгом, $\overline{\Phi}(x)=\widetilde{\Phi}(x)/x$ і $\Gamma(x)=(\widetilde{\Phi}(x)-\ln x)/x$ для всіх достатньо великих $x$, $(\lambda_n)$ $-$ невід'ємна зростаюча до $+\infty$ послідовність, а $F(s)=\sum\limits\limits_{n=0}^\infty a_ne^{s\lambda_n}$ $-$ ряд Діріхле, максимальний член $\mu(\sigma,F)=\max\{|a_n|e^{\sigma\lambda_n}:n\ge0\}$ та центральний індекс $\nu(\sigma,F)=\max\{n\ge0:|a_n|e^{\sigma\lambda_n}=\mu(\sigma,F)\}$ якого визначені для всіх $\sigma<A$. Доведено, що якщо $\ln\mu(\sigma,F)\le(1+o(1))\Phi(\sigma)$, $\sigma\uparrow A$, то виконуються нерівності $$\varlimsup_{\sigma\uparrow A}\frac{\mu(\sigma,F')}{\mu(\sigma,F)\overline{\Phi}\,^{-1}(\sigma)}\le1,\qquad \varlimsup_{\sigma\uparrow A}\frac{\lambda_{\nu(\sigma,F')}}{\Gamma^{-1}(\sigma)}\le1,$$ і ці нерівності є точними.