Вимірні векторні ґратки

Анотація

Ми досліджуємо вимірні елементи векторної ґратки $E$, тобто такі елементи $e \in E \setminus \{0\}$, для яких булева алгебра $\mathfrak{F}_e$ фрагментів елемента $e$ є вимірною. Зокрема, ми доводимо, що множина $E_{\rm meas}$ всіх вимірних елементів векторної ґратки $E$, що має головну проективну властивість, разом із нулем утворює $\sigma$-ідеал в $E$. Інший результат стверджує, що для довільної векторної ґратки $E$ з головною проективною властивістю наступні умови еквівалентні.

(1) Булева алгебра $\mathcal{U}$ всіх смуг в $E$ є вимірною.

(2) $E_{\rm meas} = E$ та $E$ задовольняє умову зліченності ланцюгів.

(3) Векторна ґратка $E$ ізоморфно вкладається, як порядково щільна підґратка векторної ґратки $L_0(\mu)$ для деякої ймовірнісної міри $\mu$.