Порядкові оцінки рівномірних наближень сумами Зиґмунда на класах згорток періодичних функцій

Анотація

Cуми Зиґмунда $Z^{s}_{n-1}(f;t)$ функції $f\in L_{1}$ $-$ це тригонометричні поліноми вигляду $$Z^{s}_{n-1}(f;t):= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\Big(1-\big(\frac{k}{n}\big)^{s}\Big) (a_{k}(f)\cos kt+b_{k}(f)\sin kt),\ s>0,$$ де $a_{k}(f)$ і $b_{k}(f)$ $-$ коефіцієнти Фур'є функції $f$. Отримано точні порядкові оцінки рівномірних наближень сумами Зиґмунда $Z^{s}_{n-1}$ на класах $C^{\psi}_{\beta,p}$. Ці класи складаються з $2\pi$-періодичних неперервних функцій $f$, які зображаються у вигляді згортки функцій, що належать одиничним кулям просторів $L_{p}$, $1\leq p<\infty$, з фіксованими твірними ядрами $$\Psi_{\beta}(t)\sim\sum_{k=1}^{\infty}\psi(k)\cos\left(kt+\frac{\beta\pi}{2}\right), \Psi_{\beta}\in L_{p'}, \beta\in \mathbb{R}, \frac1p+\frac{1}{p'}=1,$$ у випадку, коли добуток $\psi(k)k^{s+1/p}$ узагальнено монотонно зростає з деякою степеневою швидкістю, і, крім того, при $1< p<\infty$ виконується нерівність $\sum_{k=n}^{\infty}\psi^{p'}(k)k^{p'-2}<\infty$, а при $p=1$ $-$ нерівність $\sum_{k=n}^{\infty}\psi(k)<\infty$. Показано, що при виконанні зазначених умов суми Зиґмунда $Z^{s}_{n-1}$, а також суми Фейєра $\sigma_{n-1}=Z^{1}_{n-1}$ реалізують порядки найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами на вказаних функціональних класах, а саме при $1<p<\infty$ $${E}_{n}(C^{\psi}_{\beta,p})_{C}\asymp{\cal E}\left(C^{\psi}_{\beta,p}; Z_{n-1}^{s}\right)_{C}\asymp\big(\sum_{k=n}^{\infty}\psi^{p'}(k)k^{p'-2}\big)^{1/p'}, \ \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1,$$ а при $p=1$ $$ {E}_{n}(C^{\psi}_{\beta,1})_{C}\asymp{\cal E}\left(C^{\psi}_{\beta,1}; Z_{n-1}^{s}\right)_{C}\asymp \sum_{k=n}^{\infty}\psi(k), \ \cos \frac{\beta\pi}{2}\neq 0,$$ $${E}_{n}(C^{\psi}_{\beta,p})_{C}\asymp{\cal E}\left(C^{\psi}_{\beta,p}; Z_{n-1}^{s}\right)_{C}\asymp\psi(n)n, \ \cos \frac{\beta\pi}{2}= 0,$$ де $${E}_{n}(C^{\psi}_{\beta,p})_{C}:=\sup\limits_{f\in C^{\psi}_{\beta,p}}\inf\limits_{t_{n-1}\in \mathcal{T}_{2n-1}}\|f(\cdot)-t_{n-1}(\cdot)\|_{C},$$ $\mathcal{T}_{2n-1}$ $-$ підпростір тригонометричних поліномів $t_{n-1}$ порядку $n-1$ з дійсними коефіцієнтами, $${\cal E}\left(C^{\psi}_{\beta,p}; Z_{n-1}^{s}\right)_{C}:=\mathop{\sup}\limits_{f\in C^{\psi}_{\beta,p}}\|f(\cdot)-Z^{s}_{n-1}(f;\cdot)\|_{C}.$$