Порядкові оцінки рівномірних наближень сумами Зиґмунда на класах згорток періодичних функцій

Ключові слова:
найкраще наближення, сума Зиґмунда, сума Фейєра, підпростір тригонометричних поліномів, порядкова оцінкаАнотація
Cуми Зиґмунда Zsn−1(f;t) функції f∈L1 − це тригонометричні поліноми вигляду Zsn−1(f;t):=a02+n−1∑k=1(1−(kn)s)(ak(f)coskt+bk(f)sinkt), s>0, де ak(f) і bk(f) − коефіцієнти Фур'є функції f. Отримано точні порядкові оцінки рівномірних наближень сумами Зиґмунда Zsn−1 на класах Cψβ,p. Ці класи складаються з 2π-періодичних неперервних функцій f, які зображаються у вигляді згортки функцій, що належать одиничним кулям просторів Lp, 1≤p<∞, з фіксованими твірними ядрами Ψβ(t)∼∞∑k=1ψ(k)cos(kt+βπ2),Ψβ∈Lp′,β∈R,1p+1p′=1, у випадку, коли добуток ψ(k)ks+1/p узагальнено монотонно зростає з деякою степеневою швидкістю, і, крім того, при 1<p<∞ виконується нерівність ∑∞k=nψp′(k)kp′−2<∞, а при p=1 − нерівність ∑∞k=nψ(k)<∞. Показано, що при виконанні зазначених умов суми Зиґмунда Zsn−1, а також суми Фейєра σn−1=Z1n−1 реалізують порядки найкращих рівномірних наближень тригонометричними поліномами на вказаних функціональних класах, а саме при 1<p<∞ En(Cψβ,p)C≍E(Cψβ,p;Zsn−1)C≍(∞∑k=nψp′(k)kp′−2)1/p′, 1p+1p′=1, а при p=1 En(Cψβ,1)C≍E(Cψβ,1;Zsn−1)C≍∞∑k=nψ(k), cosβπ2≠0, En(Cψβ,p)C≍E(Cψβ,p;Zsn−1)C≍ψ(n)n, cosβπ2=0, де En(Cψβ,p)C:=supf∈Cψβ,pinftn−1∈T2n−1‖f(⋅)−tn−1(⋅)‖C, T2n−1 − підпростір тригонометричних поліномів tn−1 порядку n−1 з дійсними коефіцієнтами, E(Cψβ,p;Zsn−1)C:=supf∈Cψβ,p‖f(⋅)−Zsn−1(f;⋅)‖C.