Про збалансовані та Люка-збалансовані числа, що є елементами $k$-узагальненої послідовності Фібоначчі

Анотація

Збалансове число $n$ і балансир $r$ є розв’язками діофантового рівняння $$1+2+\cdots+(n-1) = (n+1)+(n+2)+\cdots+(n+r).$$ Відомо, що якщо число $n$ є збалансованим, то $8n^2 + 1$ є повним квадратом, квадратний корінь з якого називають Люка-збалансованим числом. Для цілого $k \geq 2$ символом $(F_n^{(k)})_{n}$ позначимо $k$-узагальнену послідовність Фібоначчі, яка починається з $0,\ldots,0,1,1$ ($k$ чисел), а кожне наступне число є сумою $k$ попередніх. Ми довели, що серед елементів $k$-узагальненої послідовності Фібоначчі єдиними збалансованими числами є $1$ і $6930$, а Люка-збалансованими -- числа $1$ і $3$. Отримані нами результати узагальнюють результати з [Fibonacci Quart. 2004, 42 (4), 330-340].