Про індекс спеціальних досконалих поліномів

Анотація

У статті ми подаємо нижню оцінку степеня та кількості різних простих дільників індексу спеціальних досконалих поліномів. Точніше, ми доводимо, що $\omega(d) \geq 9$ та $\deg(d) \geq 258$, де $d := \gcd(Q^2,\sigma(Q^2))$ є індексом спеціального досконалого полінома $A := p_1^2 Q^2$, в якому $p_1$ є незвідним та має мінімальний степінь. Це означає, що $\sigma(A)=A$ у поліноміальному кільці ${\mathbb{F}}_2[x]$. Функція $\sigma$ є природним аналогом функції, що обчислює суму дільників над полем цілих чисел. Розглянутий індекс є аналогом індекса непарного досконалого числа, для якого нижня межа $135$ є відомою. У нашій роботі використано елементарні властивості поліномів, а також результати статті [J. Théor. Nombres Bordeaux 2007, 19 (1), 165$-$174].