Несиметричні наближення функціональних класів сплайнами на дійсній осі

Анотація

Нехай $S_{h,m}$, $h>0$, $m\in {\mathbb N}$, $-$ простори поліноміальних сплайнів порядку $m$ дефекту 1 з вузлами в точках $kh$, $k\in {\mathbb Z}$.

Отримано точні значення найкращих $(\alpha, \beta)$-наближень просторами $S_{h,m}\cap L_1({\mathbb R})$ у просторі $L_1({\mathbb R})$ для класів $W ^r_{1,1}({\mathbb R})$, $r\in {\mathbb N}$, функцій, визначених на всій дійсній прямій, інтегрованих на ${\mathbb R}$ і таких, що $r$-ті похідні належать одиничній кулі $L_1({\mathbb R})$.

Ці результати узагальнюють відомі результати Г.Г. Магарила-Ілляєва та В.М. Тихомирова щодо точних значень найкращих наближень класів $W^r_{1,1}({\mathbb R})$ сплайнами з $S_{h,m}\cap L_1({\mathbb R})$ (випадок $\alpha= \beta=1$), а також є неперіодичними аналогами В.Ф. Бабенка щодо найкращих несиметричних наближень класів $W^r_1({\mathbb T})$ $2\pi$-періодичних функцій з $r$-тою похідною, що належить до одиничної кулі простору $L_1({\mathbb T})$ періодичними поліноміальніми сплайнами мінімального дефекту.

Як наслідок основного результату, ми отримуємо точні значення найкращих односторонніх наближень класів $W^r_1$ поліноміальними сплайнами з $S_{h,m}({\mathbb T})$. Цей результат є періодичним аналогом результатів А.А. Лігуна і В.Г. Дороніна про найкращі односторонні наближення класів $W^r_1$ просторами $S_{h,m}({\mathbb T})$.