Нові моделі деяких вільних алгебр малих рангів

Анотація

Дімоноїди, узагальнені дігрупи та допельнапівгрупи є алгебрами, визначеними на множині з двома бінарними асоціативними операціями. Поняття дімоноїда було введено Ж.-Л. Лоде під час побудови універсальної обгортуючої алгебри для алгебри Лейбніца. Одна з важливих мотивацій для вивчення допельнапівгруп випливає з їх зв'язків з інтерасоціативними напівгрупами. Узагальнені дігрупи є дімоноїдами з деякими додатковими умовами, в той час як комутативні дімоноїди забезпечують клас прикладів допельнапівгруп.

Нехай $V$ $-$ многовид універсальних алгебр. Однією з основних проблем є опис вільних об'єктів у $V$. Метою цієї статті є побудова нових більш зручних вільних об'єктів у деяких многовидах дімоноїдів, узагальнених дігруп та допельнапівгруп. Спочатку побудовано новий клас абелевих дімоноїдів, наведено нову модель вільного абелевого дімоноїда рангу 2 та поширено його на випадок довільного рангу. Потім показано, що напівгрупи вільної узагальненої дігрупи є антиізоморфними, представлено нову модель вільної моногенної узагальненої дігрупи та охарактеризовано найменшу групову конгруенцію на ній. Також доведено, що не існує комутативних узагальнених дігруп з різними операціями. Нарешті, побудовано нову модель вільної моногенної комутативної допельнапівгрупи, охарактеризовано найменшу напівгрупову конгруенцію на ній та встановлено, що кожна моногенна абелева допельнапівгрупа є гомоморфним образом вільної моногенної комутативної допельнапівгрупи.