Розривні сильно нарізно неперервні функції багатьох змінних та майже когерентність двох $P$-фільтрів

Анотація

Ми розглядаємо поняття майже когерентності $n$ $P$-фільтрів і показуємо, що майже когерентність довільних $n$ $P$-фільтрів еквівалентна майже когерентності довільних двох $P$-фільтрів. Для довільного фільтра $u$ на $\mathbb{N}$ через $\mathbb{N}_u$ ми позначаємо простір $\mathbb{N}\cup\{u\}$, в якому всі точки з $\mathbb{N}$ ізольовані і множини $A\cup\{u\}$, $A\in u$, є околами $u$. У статті введено поняття сильно нарізно скінченних множин. Для $X=\mathbb{N}_{u_1}\times\dots\times\mathbb{N}_{u_n}$ доведено, що існування сильно нарізно неперервної функції $f:X\to\mathbb{R}$ з одноточковою множиною розривів $\{(u_1,\dots,u_n)\}$ означає, що існує нарізно скінченна множина $E\subseteq X$ така, що характеристична функція $\chi|_E$ розривна в $(u_1,\dots,u_n)$. Використовуючи даний факт ми довели, що існування сильно нарізно скінченної функції $f:X_1\times \dots\times X_n\to\mathbb{R}$ на добутку цілком регулярних просторів $X_k$ із одноточковою множиною розривів $\{(x_1,\dots,x_n)\}$, де $x_k$ неізольована $G_\delta$-точка в $X_k$, еквівалентне до майже когерентності $P$-фільтрів.