Проблема збіжності гіллястих ланцюгових дробів

Анотація

Використовуючи залишки підхідних дробів неперервних дробів та їх багатовимірних узагальнень $-$ гіллястих ланцюгових дробів, означено канонічні чисельники і знаменники та досліджено умови виродженості підхідних дробів. Розглянуто деякі типи фігурних підхідних дробів, зокрема \(\mathcal{A}\)-, \(\mathcal{B}\)- та \(\mathcal{C}\)-фігурні підхідні дроби та їхні застосування. Класифіковано різні види збіжності неперервних та гіллястих ланцюгових дробів. За аналогією з прикладом Лейтона побудовано \(\mathcal{C}\)-фігурно збіжний двовимірний гіллястий ланцюговий дріб з нерівнозначними змінними, у якому в кожному неперервному дробі, що входить у його структуру, кожний четвертий елемент є довільним комплексним числом відмінним від $0$ і $-1/2$. Проаналізовано методи дослідження збіжності гіллястих ланцюгових дробів.