Відносний $r$-некомутативний граф скінченних кілець

Анотація

Нехай $S$ $-$ підкільце скінченного кільця $R$ та $r \in R$. Відносним $r$-некомутативним графом кільця $R$ відносно $S$, що позначається як $\Gamma_{S, R}^r$, називають простий неорієнтований граф, множиною вершин якого є $R$, і дві вершини $x$ та $y$ є суміжними тоді і тільки тоді, коли $x \in S$ або $y \in S$ та $[x,y] \neq r$, $[x,y]\neq -r$. У цій статті ми визначаємо степінь будь-якої вершини в графі $\Gamma_{S, R}^r$ і характеризуємо всі скінченні кільця, для яких $\Gamma_{S, R}^r$ є зірковим, льодяниковим або регулярним графом. Ми встановлюємо зв'язки між відносними $r$-некомутативними графами двох ізоклінних пар кілець. Також виводимо певні співвідношення між кількістю ребер у графі $\Gamma_{S, R}^r$ та різними узагальненими ймовірностями комутативності для $R$. Нарешті, ми завершуємо статтю вивченням індукованого підграфа графа $\Gamma_{S, R}^r$.