Про жорсткі диференціювання кілець

Анотація

Доведено, що в кільці $R$ з одиницею існує елемент $a\in R$ та ненульове диференціювання $d\in Der R$ такі, що   $ad(a)\neq 0$. Кажуть, що  $R$ - $d$-жорстке кільце для деякого диференціювання $d\in Der R$, якщо $d(a)=0$ або $ad(a)\neq 0$ для усіх  $a \in R$. Досліджено кільця із жорсткими  диференціюваннями та встановлено, що комутативне артінове кільце $R$ або має нежорсткедиференціювання, або $R=R_1\oplus \cdots \oplus R_n$ - пряма сума кілець $R_1,\ldots ,R_n$, кожне з яких є полем або диференціально тривіальним $v$-кільцем. Доведення цього результату базується на тому факті, що в лівому досконалому кільці $R$ з ненульовим радикалом Джекобсона $J(R)$ для будь-якого диференціювання $d\in Der R$ такого, що $d(J(R))=0$, випливає, що $d=0_R$ тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце  $R/J(R)$  - диференціально тривіальне  поле.