Про мероморфно зіркові функції порядку $\alpha$ і типу $\beta$, що задовольняють диференційне рівняння Шаха

Анотація

Згідно з М.Л. Могра, Т.Р. Редді та О.П. Жюнея аналітична в ${\mathbb D_0}=\{z: 0<|z|<1\}$ функція $f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}f_n z^{n}$ називається мероморфно зірковою порядку $\alpha\in [0,\,1)$ і типу $\beta\in (0,\,1]$, якщо $|zf'(z)+f(z)|<\beta|zf'(z)+(2\alpha-1)f(z)|, \, z\in {\mathbb D_0}.$ Тут досліджено умови на комплексні параметри $\beta_0,\,\beta_1,\,\gamma_0,\,\gamma_1,\,\gamma_2$, за яких диференційне рівняння С. Шаха $z^2 w''+(\beta_0 z^2+\beta_1 z) w'+(\gamma_0 z^2+\gamma_1 z+\gamma_2)w=0$ має мероморфно зіркові розв'язки порядку $\alpha\in [0,\,1)$ і типу $\beta\in (0,\,1]$. Окрім основного випадку $n+\gamma_2\not=0, \, n\ge 1,$ розглядаються випадки $\gamma_2=-1$ і $\gamma_2=-2$. Також вивчено можливість існування розв'язків вигляду $f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{m}f_n z^{n}, \, m\ge 2.$ Крім того, ми називаємо аналітичну в ${\mathbb D_0}$ функцію $f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}f_n z^{n}$ мероморфно опуклою порядку $\alpha\in [0,1)$ і типу $\beta\in (0,1]$, якщо $|zf''(z)+2f'(z)|<\beta|zf''(z)+2\alpha f'(z)|, \, z\in {\mathbb D_0}$, і досліджуємо достатні умови на параметри $\beta_0,\,\beta_1,\,\gamma_0,\,\gamma_1,\,\gamma_2$, за яких диференційне рівняння С. Шаха має мероморфно опуклі розв'язки порядку $\alpha\in [0,\,1)$ і типу $\beta\in (0,1]$. Розглядаються ті ж випадки, що і для мероморфно зіркових розв'язків.