Віківське числення на просторах регулярних узагальнених функцій аналізу білого шуму Леві

Анотація

Багато об'єктів Гауссівського аналізу білого шуму (простори основних і узагальнених функцій, стохастичні інтеграли та похідні, тощо) можна будувати і досліджувати у термінах так званих хаотичних розкладів, що базуються на властивості хаотичного розкладу (ВХР): грубо кажучи, кожну квадратично інтегровну відносно гауссівської міри випадкову величину можна розкласти у ряд стохастичних інтегралів Іто від невипадкових функцій. У аналізі Леві нема ВХР (крім гауссівського та пуассонівського частинних випадків). Тим не менш, існують різні узагальнення цієї властивості. Використовуючи ці узагальнення, можна будувати різні простори основних і узагальнених функцій. І у кожному випадку необхідно уводити природний добуток на просторах узагальнених функцій, та вивчати пов'язані питання. Цей добуток називається віківським добутком, як у гауссівському аналізі.

Конструкція віківського добутку у аналізі Леві залежить, зокрема, від обраного узагальнення ВХР. У цій статті ми маємо справу з литвинівським узагальненням ВХР та з відповідними просторами регулярних узагальнених функцій. Метою статті є увести та вивчити віківський добуток на цих просторах, та розглянути деякі пов'язані питання (віківські версії голоморфних функцій, взаємозв'язок віківського числення з операторами стохастичного диференціювання). Основні результати статті полягають у вивченні властивостей віківського добутку та віківських версій голоморфних функцій. Зокрема, ми довели, що оператор стохастичного диференціювання є диференціюванням (задовольняє правило Лейбніца) відносно віківського множення.