Обернена задача та задача диференційовної зв'язності для деяких гіпергеометричних многочленів

Анотація

Розглянемо послідовності многочленів $\{ P_n(x) \}_{n\geq 0},$  $\{Q_n(x)\}_{n\geq 0}$ такі, що $\deg ( P_n(x) ) =n,$ $\deg ( Q_n(x) )=n.$ Задача зв'язності для них полягає у знаходженні коефіцієнтів  $\alpha_{n,k}$ у виразі $\displaystyle Q_n(x) =\sum_{k=0}^{n} \alpha_{n,k} P_k(x).$ Задача зв'язності для різних типів многочленів має довгу історію і продовжує викликати інтерес в різних галузях математики, зокрема в комбінаториці, математичній фізиці, квантовій хімії. Для часткового випадку  $Q_n(x)=x^n$ задача зв'язності називається оберненою задачею для  $\{ P_n(x) \}_{n\geq 0}.$ Частковий випадок   $Q_n(x)=P'_{n+1}(x)$ має назву диференціальної задачі зв'язності для послідовності многочленів $\{ P_n(x) \}_{n\geq 0}.$ В пропонованій статті ми знаходимо у замкненому вигляді коефіцієнти оберненої і диференціальної задач зв'язності для гіпергеометричних многочленів вигляду $${}_2 F_1 \left[ \left. \begin{array}{c} -n, a \\ b \end{array} \right | z \right], {}_2 F_1 \left[ \left. \begin{array}{c} -n, n+a \\ b \end{array} \right | z \right], {}_2 F_1 \left[ \left. \begin{array}{c} -n, a \\ \pm n +b \end{array} \right | z \right],$$ де $\displaystyle {}_2 F_1 \left[ \left. \begin{array}{c} a, b \\ c \end{array} \right | z \right]=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k} \frac{z^k}{k!}$ $-$ гіпергеометрична функція Гауса, а $(x)_n$ позначає символ Похгаммера,  який визначається  формулою $\displaystyle  (x)_n\!=\begin{cases}1, n=0, \\x(x+1) (x+2)\cdots (x+n-1) , n>0. \end{cases}$
Всі многочлени розглядаються над полем дійсних чисел.