Про напівгрупу Феллера, породжену розв'язком нелокальної параболічної задачі спряження

Анотація

У статті розглядається задача побудови напівгрупи Феллера для одновимірного неоднорідного дифузійного процесу з мембраною, розташованою в точці, положення якої на числовій прямій визначається за допомогою заданої функції, що залежить від часової змінної. При цьому припускається, що у внутрішніх точках півпрямих, розділених між собою мембраною, шуканий процес має збігатися із заданими там звичайними дифузійними процесами, а його поведінка на спільній межі цих областей визначається заданою нелокальною умовою спряження типу Феллера-Вентцеля. Дану задачу ще називають задачею про склеювання двох дифузійних процесів на прямій.

З метою вивчення сформульованої проблеми в роботі застосовано аналітичні методи. Такий підхід дозволяє визначити шукану сім'ю операторів з допомогою розв'язку відповідної задачі спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку (оберненого рівняння Колмогорова) з розривними коефіцієнтами. Цей розв'язок побудовано методом граничних інтегральних рівнянь за припущення, що коефіцієнти рівняння задовольняють умову Гельдера з ненульовим показником, початкова функція є обмеженою і неперервною на всій числовій прямій, а параметри, які характеризують умову спряження Феллера-Вентцеля та крива, що визначає спільну межу областей, де задане рівняння, задовольняють умову Гельдера з показником більшим, ніж $\frac{1}{2}.$