Про інтегральне зображення розв'язків модельної $\vec{2b}$-параболічної крайової задачі

Анотація

В області $$\{(t,x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^{n+1}|t\in(0,T], x_j\in\mathbb{R}, j\in\{1,\dots,n-1\}, x_n>0\},$$ $T>0$, $n\ge 2$, розглядається загальна крайова задача для $\overrightarrow{2b}$-параболічної за Ейдельманом системи рівнянь, в якій у рівняннях і крайових умовах відсутні молодші члени, а коефіцієнти групи старших членів сталі. Припускається, що крайові умови пов'язані з системою рівнянь умовою доповняльності, яка є аналогом умови доповняльності Лопатинського. Для розв'язків такої задачі виведено інтегральне зображення. Ядра інтегралів з цього зображення утворюють матрицю Ґріна задачі. Виявлено, що, взагалі кажучи, не всі елементи матриці Ґріна є звичайними функціями. Деякі з них містять доданки, які є лінійними комбінаціями дельта-функцій Дірака та їх похідних. Це виникає у випадках, коли в крайові умови входять похідні за змінними $t$ і $x_n$ порядків, рівних або більших за найвищі порядки похідних за цими змінними в рівняннях системи. Отримані результати є важливими, зокрема, для встановлення коректної розв'язності та інтегрального зображення розв'язків загальніших $\overrightarrow{2b}$-параболічних крайових задач.