Функціонали обчислення значень в точках на алгебрах симетричних функцій на просторі $(L_\infty)^2$

Анотація

Відомо, що кожен неперервний симетричний (інваріантний відносно дії композиції аргумента з будь-якою вимірною за Лебегом бієкцією відрізка $[0,1],$ яка зберігає міру Лебега вимірних множин) поліном на декартовому степені комплексного банахового простору $L_\infty$ всіх вимірних за Лебегом суттєво обмежених комплекснозначних функцій на відрізку $[0,1]$ може бути єдиним чином подано як алгебраїчну комбінацію, тобто лінійну комбінацію добутків, так званих елементарних симетричних поліномів. Як наслідок, кожен неперервний комплекснозначний лінійний мультиплікативний функціонал (характер) довільної топологічної алгебри функцій на декартовому степені простору $L_\infty,$ яка містить алгебру неперервних симетричних поліномів на декартовому степені простору $L_\infty$ як щільну підалгебру, однозначно визначається своїми значеннями на елементарних симетричних поліномах. Тому задача опису спектра (множини всіх характерів) такої алгебри еквівалентна до задачі опису множин вищезгаданих значень характерів на елементарних симетричних поліномах.

У даній роботі розв'язано задачу опису множин значень характерів, які є функціоналами обчислення значення в точках, на елементарних симетричних поліномах на декартовому квадраті простору $L_\infty.$ Показано, що множини значень функціоналів обчислення значення в точках на елементарних симетричних поліномах задовольняють деяку природну умову. Також показано, що для кожної множини $c$ комплексних чисел, яка задовольняє вище згадану умову, існує елемент $x$ декартового квадрата простору $L_\infty$ такий, що значення функціонала обчислення значення в точці $x$ на елементарних симетричних поліномах збігаються з відповідними елементами множини $c.$