Зростання цiлих функцiй в термiнах узагальнених порядкiв

Анотація

Нехай $\Phi$ $-$ така опукла на $[x_0,+\infty)$ функція, що $\frac{\Phi(x)}x\to+\infty$, $x\to+\infty$, $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ $-$ трансцендентна ціла функція, $M(r,f)$ $-$ максимум модуля $f$, $$\rho_\Phi(f)=\varlimsup_{r\to +\infty}\frac{\ln\ln M(r,f)}{\ln\Phi(\ln r)},\quad c_{\Phi}=\varlimsup_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{\ln\Phi(x)},$$ $$d_{\Phi}=\varlimsup\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln\ln\Phi'_+(x)}{\ln\Phi(x)}.$$ Доведено, що умова $d_{\Phi}\le c_{\Phi}$ є необхідною і достатньою для того, щоб узагальнений порядок $\rho_\Phi(f)$ кожної трансцендентної цілої функції $f$ не залежав від аргументів коефіцієнтів $a_n$ (чи визначався послідовністю $(|a_n|)$).