Про замикання розширеної бiциклiчної напiвгрупи

Анотація

У статті вивчається напівгрупа $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$, яка є узагальненням біциклічної напівгрупи. Описано основні алгебраїчні властивості напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$, зокрема доведено, що кожна нетривіальна конгруенція $\mathfrak{C}$ на напівгрупі $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ є груповою, і більше того, фактор-напівгрупа $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}/\mathfrak{C}$ ізоморфна циклічній групі. Показано, що на напівгрупі $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ не існує відмінних від дискретної гаусдорфових топологій $\tau$ таких, що $(\mathscr{C}_{\mathbb{Z}},\tau)$ $-$ напівтопологічна напівгрупа. Також вивчається замикання напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ у топологічній інверсній напівгрупі $T$. Показано, що непорожній наріст напівгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ у напівгрупі $T$ складається з групи одиниць $H(1_T)$ напівгрупи $T$ та двобічного ідеалу $I$ в $T$, якщо $H(1_T)\neq\varnothing$ та $I\neq\varnothing$. У випадку, коли $T$ є локально компактною топологічною інверсною напівгрупою та $I\neq\varnothing$, доведено, що ідеал $I$ топологічно ізоморфний дискретній адитивній групі цілих чисел та описано топологію на піднапівгрупі $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}\cup I$. Також доведено, якщо група одиниць $H(1_T)$ в $T$ є непорожньою, то або $H(1_T)$ є одноточковою множиною, або група $H(1_T)$ топологічно ізоморфна дискретній адитивній групі цілих чисел.