Про збіжність розвинень відношень гіпергеометричних функцій Горна $H_3$ у гіллясті ланцюгові дроби

Анотація

Стаття присвячена дослідженню збіжності гіллястого ланцюгового дробу з двома гілками розгалужень, який використовується для наближення відношень гіпергеометричної функції Горна $H_3(a,b;c;{\bf z})$. Розглянуто випадок дійсних параметрів $c\geq a\geq 0,$ $c\geq b\geq 0,$ $c\neq 0$ і комплексної змінної ${\bf z}=(z_1,z_2)$. Спочатку доведено збіжність гіллястого ланцюгового дробу для ${\bf z}\in G_{\bf h}$, де $G_{\bf h}$ $-$ двовимірний круг. Використовуючи цей результат, встановлено достатні умови рівномірної збіжності вищезгаданого гіллястого ланцюгового дробу на кожній компактній підмножині області $\displaystyle H=\bigcup_{\varphi\in(-\pi/2,\pi/2)}G_\varphi,$ де \[\begin{split} G_{\varphi}=\big\{{\bf z}\in\mathbb{C}^{2}:&\;{\rm Re}(z_1e^{-i\varphi})<\lambda_1 \cos\varphi,\; |{\rm Re}(z_2e^{-i\varphi})|<\lambda_2 \cos\varphi, \\ &\;|z_k|+{\rm Re}(z_ke^{-2i\varphi})<\nu_k\cos^2\varphi,\;k=1,2;\; \\ &\;|z_1z_2|-{\rm Re}(z_1z_2e^{-2\varphi})<\nu_3\cos^{2}\varphi\big\}. \end{split}\]