Симетричні поліноми на декартових добутках банахових просторів інтегровних за Лебегом функцій

Анотація

Дану роботу присвячено вивченню комплекснозначних неперервних симетричних поліномів на декартових добутках комплексних банахових просторів інтегровних за Лебегом функцій. Позначимо $L_p$, де $p\in [1;+\infty)$, комплексний банахів простір всіх комплекснозначних функцій на відрізку $[0;1]$, $p$-ті степені абсолютних значень яких є інтегровними за Лебегом. Позначимо $\Xi_{[0;1]}$ множину всіх бієкцій $\sigma:[0;1] \to [0;1]$ таких, що $\sigma$ і $\sigma^{-1}$ є вимірними і зберігають міру Лебега, тобто $\mu(\sigma(E)) = \mu(\sigma^{-1}(E)) = \mu(E)$ для кожної вимірної за Лебегом множини $E\subset [0;1]$, де $\mu$ $-$ міра Лебега. Функцію $f$ на декартовому добутку $L_{p_{1}} \times \dots \times L_{p_{n}}$, де $p_1,\ldots,p_n \in [1;+\infty)$, називають симетричною, якщо $$f((x_1\circ\sigma,\ldots,x_n\circ\sigma))=f((x_1,\ldots,x_n))$$ для кожних $\sigma\in \Xi_{[0;1]}$ і $(x_1,\ldots,x_n)\in L_{p_{1}} \times \ldots \times L_{p_{n}}$. В роботі побудовано алгебраїчний базис алгебри всіх комплекснозначних неперервних симетричних поліномів на просторі $L_{p_{1}} \times \ldots \times L_{p_{n}}$. Також побудовано деякі ізоморфізми алгебр Фреше комплекснозначних цілих симетричних функцій обмеженого типу на просторі $L_{p_{1}} \times \ldots \times L_{p_{n}}$.