Параболічні системи типу Шилова із коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід'ємним родом

Анотація

На відміну від параболічних за Петровським систем, параболічні за Шиловим системи, взагалі кажучи, є параболічно нестійкими до зміни своїх коефіцієнтів. Саме тому сучасна теорія задачі Коші для систем класу Шилова розвинена на рівні систем із сталими, або залежними лише від часу $t$ коефіцієнтами. Проблема побудови теорії задачі Коші для таких систем із змінними коефіцієнтами досі залишається відкритою. У даній роботі розглянуто новий клас лінійних параболічних систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за $t$ із змінними коефіцієнтами, який повністю охоплює клас Шилова систем з коефіцієнтами, залежними від $t$ та невід'ємним родом. Головна частина диференціального виразу стосовно просторової змінної $x$ кожної такої системи є параболічним за Шиловим виразом, коефіцієнти якого залежать від $t$ тоді, як коефіцієнти групи молодших членів можуть залежати ще й від просторової змінної. Методом послідовного наближення побудовано фундаментальний розв'язок задачі Коші для систем із цього класу. З'ясовано умови мінімальної гладкості на коефіцієнти системи за змінною$x$, за яких існує фундаментальний розв'язок, досліджено його гладкість та одержано оцінки похідних цього розв'язку. Зазначені результати є важливими, зокрема, для встановлення коректної розв'язності задачі Коші для таких систем у різних функціональних просторах, одержанні форм зображення розв'язку цієї задачі та дослідженні його властивостей.