Деякі тереми про фіксовану точку в повних узагальнених метричних просторах

Анотація

Принцип стискуючих відображень є одним із найважливіших математичних принципів. Він має багато застосувань і деякі автори цікавились перенесенням цього принципу в різні метричні простори такі як простори Бріанчіарі.

Автор у статті визначив поняття узагальненого метричного простору, замінивши нерівність трикутника більш загальною нерівністю $d(x,y)\leq d(x,u)+d(u,v)+d(v,y)$ для всіх попарно різних точок $x,y,u,v$ з $X$. Таким чином, будь-який метричний простір є узагальненим метричним простором, але навпаки невірно. Автор довів теорему Банаха про фіксовані точки в таких просторах. Математики доводили різні типи теорем про фіксовану точку на узагальнюючи результат Банаха. Так Вардовський представив новий вид стискуючих відображень, який узагальнює принцип стискуючих відображень Банаха. Він використовує відображення $F: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$, яке вводить новий тип стискуючих відображень, які називаються $F$-стиском. Доведена нова теорема про фіксовану точку щодо $F$-стиску. У даній роботі ми розглянули $F$-стиск та слабкий $F$-стиск у повних узагальнених метричних просторах. Доведено деякі результати для $F$-стисків і слабких $F$-стисків і встановлено умови існування та єдиності фіксованої точки $F$-стискуючих і слабких $F$-стискуючих відображень у повних узагальних метричних просторах. Наведено деякі приклади для ілюстрації використання отриманих результатів. Дані результати є продовженням і узагальненням багатьох отриманих результатів, наведених списку літератури.