Про Віківське числення на просторах нерегулярних узагальнених функцій аналізу білого шуму Леві
https://doi.org/10.15330/cmp.10.1.114-132
Ключові слова:
процес Леві, віківський добуток, стохастичне диференціюванняАнотація
Розвиток теорії основних і узагальнених функцій, що залежать від нескінченної кількості змінних, є важливою та актуальною задачею, яка обумовлена потребами фізики і математики. Один з успішних підходів до побудови такої теорії полягає у введенні просторів вищезгаданих функцій таким чином, що дуальне спарювання між основними і узагальненими функціями породжується інтегруванням за деякою ймовірнісною мірою. Спочатку це була гауссівська міра, згодом були зроблені численні узагальнення. Зокрема, важливі результати можна отримати, використовуючи міру білого шуму Леві, відповідна теорія називається аналізом білого шуму Леві.
У гауссівському випадку можна будувати простори основних і узагальнених функцій та уводити деякі важливі оператори (наприклад, стохастичні інтеграли і похідні) на цих просторах за допомогою так званої властивості хаотичного розкладу (ВХР): грубо кажучи, кожну квадратично інтегровну випадкову величину можна розкласти у ряд повторних стохастичних інтегралів Іто від невипадкових функцій. У аналізі Леві нема ВХР, але є різні узагальнення цієї властивості.
У цій статті ми маємо справу з одним з найбільш корисних і перспективних узагальнень ВХР у аналізі Леві, запропонованим Є.В. Литвиновим, та з відповідними просторами нерегулярних узагальнених функцій. Метою статті є увести природний добуток (віківський добуток) на цих просторах, та вивчити деякі пов'язані питання. Основними результатами є теореми про властивості віківського добутку і віківських версій голоморфних функцій. Зокрема, ми доводимо, що оператор стохастичного диференціювання задовольняє правило Лейбніца відносно віківського множення. Крім того, ми показуємо, що віківські добутки і віківські версії голоморфних функцій, визначені на просторах регулярних і нерегулярних узагальнених функцій, побудованих за допомогою литвинівського узагальнення ВХР, співпадають на перетинах цих просторів.
Наші дослідження є внеском у подальший розвиток аналізу білого шуму Леві.
