Комутативні області Безу, в яких довільний ненульовий простий ідеал міститься у скінченній множині максимальних ідеалів

Анотація

Досліджуються комутативні області Безу, яких довільний ненульовий простий ідеал міститься в скінченній множині максимальних ідеалів. Зокрема описано клас таких кілець, які є кільцями елементарних дільників. Кільце $R$ називається кільцем елементарних дільників, якщо кожна матриця над $R$ володіє канонічною діагональною редукцією (матриця $A$ володіє канонічною діагональною редукцією, якщо існує така діагональна матриця $D=\mathrm{diag}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_r,0,\dots,0)$, що матриці $A$ та $D$ еквівалентні і $R\varepsilon_i\subseteq R\varepsilon_{i+1}$ для  кожного $1\le i\le r-1$). Зокрема, ми довели, що комутативна область Безу $R$, в якій кожен ненульовий простий ідеал міститься в скінченній множині максимальних ідеалів і для довільного елемента  $a\in R$  ідеал $aR$ розкладається в добуток  $aR = Q_1\ldots Q_n$, де   $Q_i$ ($i=1,\ldots, n$) є попарно комаксимальними ідеалами і  $\mathrm{rad}\,Q_i\in\mathrm{spec}\, R$, є кільцем елементарних дільників.