Обернена задача для диференціального рівняння порядку $2b$ з дробовою похідною за часом

Анотація

Вивчаємо обернену задачу для диференціального рівняння порядку $2b$ з дробовою похідною порядку $\beta\in (0,1)$ за часом і заданими узагальненими функціями типу Шварца у правих частинах рівняння і початкової умови. Задача полягає у знаходженні пари функцій $(u,g)$: узагальненого розв'язку $u$ задачі Коші для такого рівняння і залежного від часу неперервного множника $g$ у правій частині рівняння. Як додаткову умову використовуємо аналог інтегральної умови $$(u(\cdot,t),\varphi_0(\cdot))=F(t), \;\;\;  t\in [0,T],$$ де $(u(\cdot,t),\varphi_0(\cdot))$ $-$ значення шуканого узагальненого розв'язку $u$ задачі Коші на фіксованій основній функції $\varphi_0(x)$, $x\in \mathbb R^n$ для кожного значення $t$, $F$ $-$ задана неперервна функція.

Доводимо теорему існування і єдиності узагальненого розв'язку задачі Коші, одержуємо його зображення за допомогою вектор-функції Ґріна. Доведення теореми ґрунтується на властивостях спряжених операторів Ґріна задачі Коші на просторах типу Шварца основних функцій і структурі узагальнених функцій типу Шварца.

Встановлюємо достатні умови однозначної розв'язності оберненої задачі й знаходимо зображення невідомої функції $g$ через розв'язок певного інтегрального рівняння Вольтерри другого роду з інтегровним ядром.