Формули типу Кларка-Окона у майкснерiвському аналiзi бiлого шуму

Анотація

У класичному гауссівському аналізі формула Кларка-Окона дозволяє відтворити підінтегральну функцію, якщо відомий стохастичний інтеграл Іто. Цю формулу можна записати у вигляді $$F=\mathbf EF+\int\mathbf E\big\{\partial_t F|_{\mathcal F_t}\big\} dW_t,$$ де функція (випадкова величина) $F$ є квадратично інтегровною за гауссівською мірою та диференційовною за Хідою; $\mathbf E$ $-$ математичне сподівання; $\mathbf E\big\{\circ|_{\mathcal F_t}\big\}$ $-$ умовне математичне сподівання відносно повної $\sigma$-алгебри $\mathcal F_t$, породженої вінерівським процесом $W$ до моменту часу $t$; $\partial_\cdot F$ $-$ похідна Хіди $F$; $\int\circ (t)dW_t$ $-$ стохастичний інтеграл Іто за вінерівським процесом.

У цій статті ми пояснюємо як відтворити підінтегральну функцію у випадку, коли замість гауссівської міри розглядається так звана узагальнена міра Майкснера $\mu$ (в залежності від параметрів $\mu$ може бути гауссівською, пуассонівською, гамма мірою та ін.), та отримуємо відповідні формули типу Кларка-Окона.