Властивості аналітичних розв'язків трьох подібних диференціальних рівнянь другого порядку

Анотація

Однолиста аналітична в ${\mathbb D}=\{z:\;|z|<1\}$ функція $f(z)$ називається опуклою, якщо $f({\mathbb D})$ $-$ опукла область. Добре відомо, що умова $\text{Re}\,\{1+zf''(z)/f'(z)\}>0$, $z\in{\mathbb D}$, є необхідною і достатньою для опуклості $f$. Функція $f$ називається близькою до опуклої в ${\mathbb D},$ якщо існує опукла в ${\mathbb D}$ функція $\Phi$ така, що $\text{Re}\,(f'(z)/\Phi'(z))>0$, $z\in{\mathbb D}$. С.М. Шах вказав умови на дійсні параметри $\beta_0,$ $\beta_1,$ $\gamma_0,$ $\gamma_1,$ $\gamma_2$ диференціального рівняння $z^2w''+(\beta_0 z^2+\beta_1 z)w'+(\gamma_0z^2+\gamma_1 z+\gamma_2) w=0, $ за яких існує цілий трансцендентний розв'язок $f$ такий, що $f$ і всі його похідні є близькими до опуклих в ${\mathbb D}$. Нехай $0<R\le+\infty$, ${\mathbb D}_R=\{z:\;|z|<R\}$ і $l$ $-$ додатна неперервна функція на $[0,R)$ така, що $ (R-r)l(r)>C,$ $C=\text{const}>1. $ Аналітична в ${\mathbb D}_R$ функція $f$ називається обмеженого $l$-індексу, якщо існує $N\in {\mathbb Z}_+$ таке, що \[\frac{|f^{(n)}(z)|}{n!l^n(|z|)}\le \max\bigg\{\frac{|f^{(k)}(z)|}{k!l^k(|z|)}:\;0\le k\le N\bigg\}\] для всіх $n\in {\mathbb Z}_+$ і $z\in {\mathbb D}_R.$ Досліджено близькість до опуклості та обмеженість $l$-індексу для аналітичних в ${\mathbb D}$ розв'язків трьох аналогічних Шаху диференціальних рівнянь: $z(z-1) w''+\beta z w'+\gamma w=0$, $(z-1)^2 w''+\beta z w'+\gamma w=0$ і $(1-z)^3 w''+\beta(1- z) w'+\gamma w=0$. Незважаючи на подібність цих рівнянь, їх розв'язки мають різні властивості.