Про безумовно збіжні ряди в топологічних кільцях

Анотація

Ми будемо називати топологічне кільце $R$ кільцем Гірша, якщо для будь-яких безумовно збіжного ряду $\sum_{n\in\omega} x_i$ в $R$ і околу $U$ нуля $0$ кільця $R$ існує такий окіл $V\subseteq R$ нуля $0$, що $\sum_{n\in F} a_n x_n\in U$ для будь-яких скінченної множини $F\subset\omega$ та послідовності $(a_n)_{n\in F}\in V^F$. Ми розпізнаємо кільця Гірша серед певних відомих класів топологiчних кілець. Для цього ми впроваджуємо та розвиваємо техніку напівнорм на актогрупах. Ми доводимо, зокрема, що топологічне кільце $R$ є кільцем Гірша, якщо $R$ є локально компактним або $R$ має базу в нулі, котра складається з вiдкритих ідеалів або $R$ є замкненим підкільцем банахового кільця $C(K)$, де $K$ є компактним хаусдорофовим простором. З цього випливає, що банахове кiльце $\ell_\infty$ i його підкільця $c_0$ i $c$ є кільцями Гірша. Використовуючи новий результат Банаха та Кадеця, ми доводимо, що для довільного дійсного числа $p\ge 1$ комутативне банахове кільце $\ell_p$ є кільцем Гірша тоді і тільки тоді, коли $p\le 2$. Також для кожного $p\in (1,\infty)$ (некомутативне) банахове кiльце $L(\ell_p)$ неперервних ендоморфізмів банахового кiльця $\ell_p$ не є кільцем Гірша.