Групи класу нільпотентності $3$ порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець

Анотація

Майже-кільця $-$ це узагальнення кілець в сенсі того, що додавання не повинно бути абелевим і тільки один дистрибутивний закон має місце. Майже-кільце з одиницею називають локальним, якщо множина всіх необоротних елементів утворює підгрупу в адитивній групі. Відомо, що не є вірним, що кожна скінченна група є адитивною групою майже-кільця з одиницею. Тому визначення неабелевих скінченних $p$-груп, які є адитивними групами локальних майже-кілець, є відкритою проблемою.

Ми розглянули групи класу нільпотентсності $3$ порядку $p^4$ як адитивні групи локальних майже-кілець. Було показано, що для $p>3$ існують локальні майже-кільця на одній з чотирьох таких груп. Базуючись на добре відомій системі комп'ютерної алгебри GAP, ми побудували приклади локальних майже-кілець з вказаними властивостями.