Нові тотожності для многочленів Шура

Анотація

Многочлени Шура відіграють центральну роль у комбінаториці, теорії зображень і симетричних функціях. Класичні тотожності, такі як формули Коші та Літтлвуда, встановлюють фундаментальні взаємозв'язки між цими многочленами. У цій статті ми пропонуємо нові узагальнення цих тотожностей для обмежених і необмежених випадків. Зокрема, доведено, що сімейство розкладів многочленів Шура, параметризоване довільними послідовностями многочленів, задовольняє властивість факторизації, засновану на визначниках. Цей результат розширює класичні тотожності Коші та надає уніфіковану структуру для обмежених аналогів. Крім того, отримано нові обмежені тотожності для многочленів Шура, які уточнюють результати Макдональда та враховують обмеження на розбиття. Ці результати включають представлення у вигляді визначників, які охоплюють як класичні, так і обмежені випадки, створюючи основу для подальших узагальнень. Також обговорюються застосування цих результатів до комбінаторних структур і теорії симетричних функцій.