Суперрозширення допельнапівгруп

Анотація

Сім'я $\mathcal{U}$ непорожніх підмножин множини $D$ називається монотонною, якщо для кожної множини $U\in\mathcal{U}$ довільна множина $F\supset U$ також належить $\mathcal{U}$. Монотонна сім'я $\mathcal L$ підмножин множини $D$ називається зчепленою, якщо $A\cap B\ne\emptyset$ для всіх $A,B\in\mathcal L$. Зчеплена сім'я $\mathcal M$ підмножин множини $D$ називається максимальною зчепленою, якщо $\mathcal M$ збігається з кожною зчепленою сім'єю $\mathcal L$ на $D$, що містить $\mathcal M$. Суперрозширення $\lambda(D)$ множини $D$ складається з усіх максимальних зчеплених сімей на $D$. Кожна асоціативна бінарна операція $* : D\times D \to D$ продовжується до асоціативної бінарної операції $$*:\lambda(D)\times \lambda(D)\to \lambda(D), \quad \mathcal M*\mathcal L=\Big\langle\bigcup_{a\in M}a*L_a:M\in\mathcal M,\;\{L_a\}_{a\in M}\subset\mathcal L\Big\rangle.$$ У цій статті ми досліджуємо будову допельнапівгрупи $(\lambda(D),\dashv,\vdash)$ максимальних зчеплених сімей на допельнапівгрупі $(D,\dashv,\vdash)$. Зокрема ми вивчаємо праві і ліві нулі та одиниці, комутативність, центр, ідеали суперрозширення $(\lambda(D),\dashv,\vdash)$ допельнапівгрупи $(D,\dashv, \vdash)$. Ми вводимо функтор суперрозширення $\lambda$ у категорії $\mathbf {DSG}$, об'єктами якої є допельнапівгрупи, а морфізмами $-$ гомоморфізми допельнапівгруп, і показуємо, що функтор $\lambda$ зберігає сильні допельнапівгрупи, допельнапівгрупи з лівим (правим) нулем, допельнапівгрупи з лівою (правою) одиницею, допельнапівгрупи лівих (правих) нулів. Також ми доводимо, що група автоморфізмів суперрозширення допельнапівгрупи $(D,\dashv, \vdash)$ містить підгрупу, ізоморфну до групи автоморфізмів допельнапівгрупи $(D,\dashv, \vdash)$.