Характеризація F-просторів, що містять ізоморфну копію $\ell_0$

Анотація

Доведено, що F-простір $X$ містить ізоморфну копію $\ell_0$ тоді і лише тоді, коли існує неперервна в нулі функція $T \colon L_0 \to X$ з умовою $T0 = 0$, яка володіє такими двома властивостями.

(1) $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in L_0) (\forall a > 0) (\exists b > 0) \,\bigl( \|a Tx \| \ge \varepsilon \, \Rightarrow \, \|T(bx) \| \ge \delta \bigr)$, що є слабкою версією додатної однорідності.

(2) Для довільних $x,y,z \in L_0$ з умовою $Tx \neq 0$ з того, що $x$ є диз'юнктною сумою $y$ та $z$, випливає, що або $Ty \neq 0$, або $Tz \neq 0$.

Також наведено приклади, які показують, що всі умови на функцію $T$ є істотними.